Geometria Analitica

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

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Punto medio o punto equidistante, en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos.

Si es un segmento acotado, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento.

ALGUNOS VIDEOS DE APOYO PARA ESTE TEMA  SON:

 

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DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

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En geometría analítica las líneas rectas en un plano pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano cartesiano. En dicha expresión m es denominada la “pendiente de la recta” y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado “término independiente” u “ordenada al origen” y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.

EJEMPLO: La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0) es 5 – (–4) = 5 +4 = 9 unidades.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Distancia001 (1)

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos P 1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa P 1 P 2 y emplear el Teorema de Pitágoras .

ALGUNOS VIDEOS PARA ESTE TEMA:

 

OPERACIONES CON FUNCIONES

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OPERACIONES CON FUNCIONES

Suma de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función

(f – g)(x) = f(x) – g(x)

Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.

Producto de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por

(f.g)(x) = f(x).g(x)

Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por

(f/g)(x) = f(x)/g(x)

(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)

Producto de un número por una función

Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por

(a.f)(x) = a.f(x)

Ejercicio: operaciones con funciones

Sean las funciones f(x) = 3 x + 1, y g(x) = 2 x – 4.

Definir la función f + g y calcular las imágenes de los números 2, -3 y 1/5.

Resolución:

– la función f + g se define como

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x + 1 + 2 x – 4 = 5 x – 3.

– (f + g)(2) = 5 · 2 – 3 = 7

(f + g)(-3) = 5(-3) – 3 = -18

(f + g)(1/5) = 5 · 1/5 – 3 = -2

Obsérvese que si se calculan las imágenes de f y g por separado y se suman, el resultado es el mismo.

Por ejemplo, para la imagen del 2,

f(2) = 3.2 + 1 = 7 (f + g)(2) = 7 + 0 = 7
g(2) = 2.2 – 4 = 0

Dadas las funciones f (x) = x² – 3, y g(x) = x + 3, definir la función (f – g)(x).

Calcular las imágenes de 1/3, -2 y 0 mediante la función f – g.

Resolución:

– (f – g)(x) = f(x) – g(x) = x² – 3 – (x + 3) = x² – 3 – x – 3 = x² – x – 6

– (f – g)(1/3) = (1/3)² – 1/3 – 6 = – 56/9
– (f – g)(-2) = (-2)² – (-2) – 6 = – 0
– (f – g)(0) = (0)² – 0 – 6 = – 6
Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y efectuando la resta, se obtiene el mismo resultado.

3) Dadas las funciones f(x) = x/2 – 3 y g(x) = 2.x + 1, definir la función f.g.

Resolución:

– (f.g)(x) = f(x).g(x) = (x/2 – 3).(2.x + 1) = x² – 11.x/2 – 3

Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y multiplicando después, se obtienen los mismos resultados.

Dadas las funciones f(x) = – x – 1, y g(x) = 2 x + 3, definir f/g.

Calcular las imágenes de los números – 1, 2 y 3/2 mediante f/g.

Resolución:

(f/g)(x) = f(x)/g(x) = (-x – 1)/(2.x + 3)

La función f/g está definida para todos los números reales, salvo para x = -3/2, donde la función g se anula.

(f/g)(-1) = 0/1 = 0

(f/g)(2) = -3/7

(f/g)(3/2) = (-5/2)/6 = -5/12

Calculando por separado las imágenes de los números mediante las funciones f y g, y después efectuando su cociente, se obtienen los mismos resultados.

5) Dada la función f(x) = x² + x – 2, calcular 3.f y f/3.

Obtener las imágenes de los números 2, 1 y 0 mediante la función 3 · f.

Resolución:

– (3.f)(x) = 3.f(x) = 3.(x² + x – 2) = 3.x² + 3.x – 6

(1/3).f(x) = (1/3).(x² + x – 2)
– (3.f)(2) = 3.2² + 3.2 – 6 = 12

– (3.f)(1) = 3.1² + 3.1 – 6 = 0

– (3.f)(0) = 3.0² + 3.0 – 6 = – 6

COMPOSICION DE FUNCIONES

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las

funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de R en R, por (g o f)(x) = g[ f(x)].

La función (g o f)(x) se lee « f compuesto con g aplicado a x ».

f
—>
g
—>

x → f(x) → g.[f(x)]

Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(x).

Cálculo de la imagen de un elemento mediante una función compuesta

Para obtener la imagen de la función compuesta aplicada a un número x, se siguen estos pasos:

1- Se calcula la imagen de x mediante la función f, f(x).

2- Se calcula la imagen mediante la función g, de f(x). Es decir, se aplica la función g al resultado obtenido anteriormente.

Ejercicio: composición de funciones

Sean las funciones f(x) = x + 3 y g(x) = x².

Calcular g o f y la imagen mediante esta función de 1, 0 y -3.

Resolución:

– (g o f)(x) = g.[f(x)] = g.[(x + 3)] = (x + 3)²

f
—>
g
—>

x → f(x) = x + 3 → g.[f(x)] = g.(x + 3) = (x + 3)²

– la imagen de dos números 1, 0, -3, mediante la función g o f es:

(g o f)(1) = g.[f(1)] = g.(1 + 3) = g.(4) = 4² = 16

(g o f)(0) = g.[f(0)] = g.(0 + 3) = g.(3) = 3² = 9

(g o f)(-3) = g.[f(-3)] = g.(-3 + 3) = g.(0) = 0² = 0

Dadas las funciones f(x) = x² + 1, y g(x) = 3x – 2, calcular:

a) (g o f) (x)

b) (f o g) (x)

c) (g o f) (1) y (f o g) (-1)

d) El original de 49 para la función g o f.

Resolución:

a) la función g o f está definida por:

f
—>
g
—>

x → f(x) = x² + 1 → g.[f(x)] = g.(x² + 1) = 3.(x² + 1) – 2 = 3.x² + 3 – 2 = 3.x² + 1

b) la función f o g está definida por:

g
—>
f
—>

x → g(x) = 3.x – 2 → f.[g(x)] = (3.x – 2)² + 1 = 9.x² + 4 – 12.x + 1 = 9.x² – 12.x + 5

Obsérvese que g o f ≠ f o g.

c) Aplicando los resultados de los apartados anteriores:

(g o f)(1) = 9.1² – 12.1 + 5 = 9 – 12 + 5 = 2

(g o f)(-1) = 9.(-1)² – 12.(-1) + 5 = 9 + 12 + 5 = 26

d) El original de 49 para la función g o f será un número x, tal que (g o f)(x) = 49.
(g o f) (x) = 3 x² + 1 = 49. Basta con resolver esta ecuación.

3.x² + 1 = 49 ⇒ x² = 16 ⇒ x = ±4

DESIGUALDADES

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ALGUNOS VIDEOS DE APOYO PARA EL TEMA SON:

 

 

La Elipse

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La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.

Enlaces para ejercitarte en este tema:

  1. Definicion, Transformaciones y ejemplos.

http://www.fic.umich.mx/~lcastro/elipse.pdf

2.     11 Ejercicios resueltos

https://cienciascsjic.files.wordpress.com/2014/12/ejercicios-resueltos.pdf

3. Definicion, ejemplos, ejercicios resueltos.

https://expediente.ues.edu.sv/uiu/elementos_estudio/matematica/Jesus%20Infante%20Murillo%20-%20Geometria%20Analitica/6.%20Elipse.pdf

4. Definicion; Construccion con regla y compas; Forma ordinaria: 5 ejemplos; 5 ejercicios; Elipse con centro fuera del origen y eje focal paralelo a alguno de los ejes coordenados; 5 ejemplos; 5 ejercicios; Elipse Forma General con eje focal paralelo a alguno de los ejes coordenados; 5 ejemplos; 5 ejercicios.

http://www.prepa5.unam.mx/wwwP5/profesor/publicacionMate/14X.pdf

5.    11 Ejercicios con respuesta.

http://www.matematicaparatodos.com/ANALITICA/6_EJERCICIOS_ELIPSE.pdf

6.     10 Ejercicios con solucion.

http://sisbib.unmsm.edu.pe/bibvirtualdata/libros/matematicas/geometria/pdf/geo_7.pdf

7.     3 Ejercicios Resueltos.

http://traful.utem.cl/portal/doc/capsulas-de-aprendizaje/capsula-elipse/assets/material_descargable/elipse_%20ejercicios_desarrollados.pdf

8. Elementos de la Elipse; Ecuacion ordinaria; Excentricidad; 3 Ejemplos resueltos; Ecuacion ordinaria con su centro fuera del origen; 3 Ejemplos resueltos; Ecuacion general de la Elipse; 6 Ejemplos resueltos.

http://www.competenciasmatematicas.com.mx/download/2.2%20La%20elipse.pdf

9.  Elipse. Definicion. Problems resueltos.

https://mate2ecouac.wikispaces.com/file/view/Elipse_0001.pdf

10. Elipse. 24 ejercicios resueltos.

https://mate2ecouac.wikispaces.com/file/view/Elipse_0002.pdf

11. Circunferencia y Elipse. 14 ejercicios resueltos.

http://www.iesdionisioaguado.org/matematicas/pdf/1CCNNproblemasresueltos_conicas.pdf

12.  Conicas. 45 ejercicios propuestos.

https://lasmatesdejorge.wikispaces.com/file/view/C%C3%B3nicas.pdf

13. Teoria. Elipse. 13 ejercicios propuestos.

https://matematica2facea.files.wordpress.com/2012/03/clase-6-eleipse.pdf

14.  Elipse.Teoria. Ejemplos, 15 Ejercicios propuestos.

https://www.guao.org/sites/default/files/E.2.2%20Excentricidad%20de%20la%20elipse.pdf

15.  Formulario. Circunferencia-Elipse.

http://www.videosdematematicas.com/Formularios%20pdf/Matematicas/Parabola%20-%20circunferencia%20-elipse.pdf

16. Rsumen teorico. Circunferencia y Elipse

http://manolomat.com/manolomat/images/mat-i/resumenes_teoricos/resumen_teorico_lugares_geometricos_conicas.pdf

17. Geometria Analitica. LIBRO.

Índice de contenidos 1 Sistemas de ejes coordenados

1 1.1 Coordenadas de un punto . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Ejes Coordenados . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Lugares geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Rectas, segmentos y polígonos . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2.1 Segmentos Rectilíneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2.2 Rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.2.3 Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Formulario de la Unidad Uno . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2 La línea recta 39

2.1 Ecuaciones y propiedades de la recta . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.1.1 Forma punto-pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.1.2 Forma pendiente-ordenada al origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.1.3 Forma simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.1.4 Forma general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.1.5 Forma normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.1.6 Distancia entre un punto y una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.2 Ec. rectas notables en un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Formulario de la Unidad Dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3 La circunferencia 103 3.1 Caracterización geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.2 Ecuación ordinaria de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.2.1 Circunferencia con centro en el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.2.2 Centro fuera del origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.3 Ecuación general de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.3.1 Conversión de forma ordinaria a forma general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.3.2 Conversión de la forma general a la forma ordinaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

3.4 Circunferencia que pasa por tres puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3.4.1 Condiciones analíticas y geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3.5 Circunferencia y secciones cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Formulario de la Unidad Tres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4 La parábola 155 4.1 Caracterización geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.1.1 La parábola como lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.2 Ecuaciones ordinarias de la parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

4.2.1 Parábolas con vértice en el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

4.2.2 Parábolas con vértice fuera del origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

4.3 Ecuación General de la Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

4.3.1 Conversión de f. ordinaria a f. general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

4.3.2 Conversión de f. general a f. ordinaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

Formulario de la Unidad Cuatro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

5 La elipse 195 5.1 Caracterización geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

5.1.1 La elipse como lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

5.1.2 Elementos asociados a la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

5.2 Ecuaciones ordinarias de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

5.2.1 Vértice en el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

5.2.2 Centro fuera del origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

5.3 Ecuación general de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

5.3.1 Conversión de f. ordinaria a f. general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

5.3.2 Conversión de la forma general a la forma ordinaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

Formulario de la Unidad Cinco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

6 La hipérbola 229 6.1 Caracterización geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

6.1.1 La hipérbola como lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

6.1.2 Elementos asociados a la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

6.2 Ecuación ordinaria de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

6.2.1 Hipérbola con centro en el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

6.2.2 Hipérbola con centro fuera del origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

6.3 Ecuación general de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

6.3.1 Conversión de f. ordinaria a f. general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

6.3.2 Conversión de f. general a f. ordinaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

Formulario de la Unidad Seis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

http://www.aprendematematicas.org.mx/obras/AMDGB3.pdf

18.  Cuestionario sobre Elipse

https://sergioyansen.files.wordpress.com/2012/02/resueltos-de-elipses.pdf

19. Ejercicios 20 propuestos.

https://anabautista091.files.wordpress.com/2012/10/ejercicios-de-elipse.pdf

20.  LIBRO. Lehmann.

http://eva.sepyc.gob.mx:8383/greenstone3/sites/localsite/collect/ciencia1/index/assoc/HASH01c6/97810760.dir/12040024.pdf;jsessionid=64FDBE2B08C85E1CE3C6C9F750721151

ALGUNOS VIDEOS DE APOYO PRA ESTE TEMA:

La Parabola

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Se denomina parábola al lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta dada, llamada directriz, y de un punto exterior a ella, llamado foco.

Estos son los enlaces para ejercicios de este tema:

  1. Definiciones; Transfromaciones; 5 ejemplos resueltos; Aplicaciones; 47 Ejercicios para resolver; Instruccciones para construir una parabola en papel.

http://www.fic.umich.mx/~lcastro/parabola.pdf

2. Definicion; Ecuacion de la parabola horizontal con vertice en el origen; 3 ejemplos resueltos; Ecuacion de la parabola vertical con vertice en el origen; 3 Ejemplos resueltos; Ecuacion de la parabola vertical con vertice fuera del origen; Forma general de las ecuaciones de la parábola horizontal y vertical con vértice fuera del origen; 9 Ejemplos resueltos; Posición general de la parábola y su ecuación; 1 ejemplo resuelto.

https://expediente.ues.edu.sv/uiu/elementos_estudio/matematica/Jesus%20Infante%20Murillo%20-%20Geometria%20Analitica/5.%20Parabola.pdf

3. Definicion de Parabola; 4 Ejemplos resueltos; 15 Problemas propuestos; Parabola con vertice en (h,k); a) Eje paralelo al eje x; Ecuacion general de la Parabola; 2 Ejemplos resueltos; La parabola que pasa por tres puntos; 14 ejemplos resueltos; Tangentes a una Parabola; 6 Ejemplos resueltos; 38 Problemas propuestos.

http://www.sectormatematica.cl/media/NM3/LA%20%20PARABOLA%20jaime.pdf

4. La Parabola como lugar geometrico; Construccion con regla y compas; Ecuacion de la Parabola en las formas Ordinaria y General con eje focal paralelo con los ejes coordenados; 8 Ejemplos resueltos; 8 Ejercicios propuestos; Forma General; 5 Ejemplos resueltos; 5 Ejercicios propuestos; Ecuacion de la parabola con ciertas condiciones con eje paralelo a uno de los ejes coordenados; 5 Ejemplos resueltos; 5 Ejercicios propuestos; Ecuacion de la parabola con eje focal oblicuo a los ejes coordenados; 5 Ejemplos resueltos; 5 Ejercicios propuestos.

http://www.prepa5.unam.mx/wwwP5/profesor/publicacionMate/13IX.pdf

5.   10 Ejercicios resueltos.

http://sisbib.unmsm.edu.pe/bibvirtualdata/libros/matematicas/geometria/pdf/geo_6.pdf

6. Definicion; Ecuación ordinaria de la parábola con su vértice en el origen; 2 ejemplos resueltos; Ecuación ordinaria de la parábola con el vértice fuera del origen; 2 Ejemplos resuletos; Ecuación general de la parábola; 2 Ejemplos resueltos.

http://www.competenciasmatematicas.com.mx/download/2.1%20La%20parabola.pdf

7.  ECUACIÓN EN FORMA ORDINARIA O CANÓNICA; ECUACIONES DE LA PARÁBOLA CUYO VÉRTICE ESTÁ EN EL ORIGEN; 3 Ejemplos resueltos; 5 Ejercicios propuestos; ECUACIONES DE LA PARÁBOLA CUYO VÉRTICE NO COINCIDE CON EL ORIGEN; 2 Ejemplos resueltos; 6 Ejercicios propuestos; ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA EN FORMA GENERAL; 2 Ejemplos resueltos; 6 Ejercicios propuestos.

http://www.uaa.mx/centros/cem/dmf/Descargas/Alumnos/Matematicas%20III/mat3u5.pdf

8. Circunferencia, Parabola, Elipse: Ejemplos, Ejercicios Propuestos

https://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/781/3/1487.pdf

9.     14 Ejercicios Propuestos con soluciones.

http://www.matematicaparatodos.com/ANALITICA/5_EJERCICIOS_PARABOLA.pdf

10.  6 Ejercicios resueltos.

http://recursos.salonesvirtuales.com/assets/bloques//paabola_201.pdf

11. Circunferencia, Parabola, Elipse.

http://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/5241/3/Precalculo%20de%20Villena%20-%2003%20-%20C%C3%B3nicas.pdf

12.  Parabola, Defincion, Ejemplos.

http://dcb.fi-c.unam.mx/cerafin/bancorec/capsulasmatematicas/parabola.pdf

13.  La Parabola, Definiciones, Ejercicios Propuestos y Ejemplos.

http://www.unicoos.com/teoriaTemas/83_parabola.pdf

14.             1. Ecuación de la parábola horizontal con vértice en el origen 1.1 Análisis de la ecuación 1.2 Ejercicios

2. Ecuación de la parábola vertical con vértice en el origen 2.1 Ejercicios

3. Ecuación de la parábola horizontal con vértice fuera del origen

4. Ecuación de la parábola vertical con vértice fuera del origen 5. Forma general de las ecuaciones de la parábola horizontal y vertical con vértice fuera del origen 6. Ejercicios 7. Posición general de la parábola y su ecuación.

http://exordio.qfb.umich.mx/archivos%20PDF%20de%20trabajo%20UMSNH/Aphilosofia/Mate/parabola.pdf

15.  Cuaderno de Ejercicios Recta, Circunferencia, Parabola, Elipse.

http://web.uaemex.mx/PIgnacioRamirez/Documentos/MaterialDidactico/Matematicas/Geometria_analitica_cuaderno_de_ejercicios.pdf

16.  Introduccion a la Geometria Analitica. Apuntes, Ejercicios con solucion, Ejemplos.

http://www.cecyt3.ipn.mx/actividades-on-line/ganalitica/geometria_analitica%20apuntes.pdf

17. Definicion Parabola, Ejercicios Propuestos.

http://matematicas.bach.uaa.mx/Descargas/Alumnos/Analitica/mat3u5.pdf

18. Parabola. Actividades diversas.

http://www.cch-oriente.unam.mx/areas/matematicas/mate3/MIII_U5.pdf

ALGUNOS VIDEOS SOBRE EL TEMA PARABOLA:

 

La circunferencia

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Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante que se denomina radio.

Estos enlaces son para ejercitarse en este tema:

  1. La Ec. de la circunferencia: Con centro en el origen; 5 ejemplos, Con centro fuera del origen; 4 ejmplos, Usos de la circunferencia en diferentes areas del conocimiento

http://cvonline.uaeh.edu.mx/Cursos/BV/L0703/Unidad%203/33_lect_la_ecuacion_de_la_circunferencia.pdf

2) La circunferencia como lugar geometrico; Formas ordinaria y general; 9 ejemplos, 10 ejercicios propuestos, Circunferencia determinada por tres condiciones dadas; 5 ejemplos, 5 propuestos; Familia de circunferencias, 5 ejemplos, 5 propuestos.

http://www.prepa5.unam.mx/wwwP5/profesor/publicacionMate/12VIII.pdf

3)   31 ejercicios Propuestos con solucion.

http://www.matematicaparatodos.com/ANALITICA/4_EJERCICIOS_CIRCUNFERENCIA.pdf

4) Definicion y ecuacion, Ec. con centro en el origen y fuera de el, Determinada por tres condiciones, Tangente a la circunferencia, Recta dista de la circunferencia, Forma general; con varios ejemplos.

http://www.uaa.mx/centros/cem/dmf/Descargas/Alumnos/Matematicas%20III/mat3u4.pdf

5) 9 ejercicios resueltos.

http://sisbib.unmsm.edu.pe/bibvirtualdata/libros/matematicas/geometria/pdf/geo_4.pdf

6)  5 ejercicios resueltos.

http://www.iesdionisioaguado.org/matematicas/pdf/1CCNNproblemasresueltos_conicas.pdf

7)  Ecs de la circunferencia; 6 ejemplos, 30 ejercicios propuestos, Pasa por tres puntos; 24 Ejercicios propuestos.

http://www.fic.umich.mx/~lcastro/circunferencia.pdf

8) Ec ordinaria, Ec general; Ejemplos resueltos.

http://www.competenciasmatematicas.com.mx/download/1.4%20La%20circunferencia.pdf

9) Conversión de la forma general a la forma ordinaria. Ejemplos

http://www.aprendematematicas.org.mx/notas/geomanalitica/DGB3_3_3_2.pdf

10) Marco Teorico, Ejemplos, Ejercicios resueltos, 15 Ejercicios Propuestos.

https://www.guao.org/sites/default/files/E.1.1%20La%20circunferencia%20ecuaci%C3%B3n%20can%C3%B3nica%20y%20general.pdf

11)  4 ejercicios desarrollados.

http://traful.utem.cl/portal/doc/capsulas-de-aprendizaje/capsula-circunferencia/assets/material_descargable/ED_Circunferencia.pdf

12)  Todos los temas: materiales de apoyo.

http://www.preparatoriamontesdeoca.com/media/Periodos/5-tetra/matematicas-5.pdf

ALGUNOS DE LOS VIDEOS DE APOYO A ESTE TEMA SON:

ECUACION DE UNA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN

ECUACION DE UNA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO Y RADIO DADOS:

Encontrar centro y radio de circunferencia (completando trionomio cuadrado perfecto):