Calculo

CRITERIO DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA

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eoría del Criterio de la Primera derivada:

Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico 

“Sea c un punto crítico de una función f que es continua en un intervalo abierto I que contiene a c. Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c, entonces f(c)puede clasificarse como sigue.”

1. Si f ‘(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (c, f(c)).

2. Si f ‘(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en (c, f(c)).

3. Si f ‘(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni un mínimo ni un máximo relativo.

Teoría del criterio de la segunda derivada :

El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.

Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es convexa en un intervalo abierto que contiene a c, y f '(c)=0, f(c) debe ser un mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c y f '(c) = 0, f(c) debe ser un máximo relativo de f.

Sea f una función tal que f '(x) = 0 y la segunda derivada de  f existe en un intervalo abierto que contiene a x

  1. Si f ''(x) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (x, f(x)).
  2. Si f ''(x) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (x, f(x)).
  1. Si f ''(x) = 0, entonces el criterio falla. Esto es, f quizás tenga un máximo relativo en x, un mínimo relativo en (x, f(x)) o ninguno de los dos. Tomar como ejemplo la función f(x) = x³. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada.

ALGUNOS EJERCICIOS Y EJEMPLOS LOS PUEDES ENCONTRAR EN ESTOS LINKS:

http://portalacademico.cch.unam.mx/materiales/prof/matdidac/sitpro/mate/calc/calc1/calculo/U4_CriterioPrimera.pdf

http://portalacademico.cch.unam.mx/materiales/prof/matdidac/sitpro/mate/calc/calc1/calculo/U4_CriterioSegunda.pdf

http://gc.initelabs.com/recursos/files/r157r/w13091w/Mate2_Lic_4aEd_06.pdf

http://edumatth.weebly.com/uploads/1/3/1/9/13198236/mximos_y_mnimos_de_una_funcion_de_una_variable_independiente.pdf

ALGUNOS VIDEOS DE APOYO A ESTE TEMA SON:

 

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PUNTOS CRITICOS Y VALORES EXTREMOS

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En cálculo, un punto crítico de una función de una variable real es cualquier valor en el dominio en donde la función no es diferenciable o cuando su derivada es 0.1 2 El valor de la función en el punto crítico es un valor crítico de la función. Estas definiciones admiten generalizaciones a funciones de varias variables, mapas diferenciables entre Rm y Rn, y mapas diferenciables entre variedades diferenciables.

Un punto crítico de una función de una sola variable real, ƒ(x), es un valor x0 dentro del dominio de ƒ donde la función no es diferenciable, o bien, su derivada es 0, ƒ(x0) = 0. Cualquier valor en el codominio de ƒ que sea la imagen de un punto crítico bajo ƒ es un valor crítico de ƒ. Estos conceptos pueden ser visualizados por medio de la gráfica de ƒ: en un punto crítico, la gráfica no admite una tangente, o bien, la tangente es una línea vertical u horizontal. En el último caso, la derivada es cero y el punto es llamado un punto estacionario de la función.

Por el teorema de Fermat, los máximos y mínimos locales de una función pueden ocurrir únicamente en sus puntos críticos. Sin embargo, no todo punto estacionario es un máximo o mínimo de la función; puede corresponder también a un punto de inflexión de la gráfica, como para ƒ(x) = x3 en x = 0, o la gráfica puede oscilar en la vecindad del punto, como en el caso de la función definida por la fórmula ƒ(x) = x2sen(1/x) para x ≠ 0 y ƒ(0) = 0, en el punto x = 0.

Derivada igual a cero

Dada una función real de variable real; y = f(x):

{\displaystyle {\begin{array}{rccl}f:&R&\longrightarrow &R\\&x&\longmapsto &y=f(x)\end{array}}}

Con dominio de definición (a,c), siendo y = f(x) continua y derivable en el intervalo (a,c) y un punto b de ese intervalo:

{\displaystyle a<b<c\;}

donde su derivada en b es cero:

{\displaystyle {\cfrac {d\;f(b)}{dx}}=0}{\displaystyle {\cfrac {d\;f(b)}{dx}}=0}

pueden presentarse los siguientes casos.

Máximo

Derivada cero 11d.svg

La función de a a b es creciente y de b a c es decreciente, en el punto b la tangente a la función es horizontal y por tanto en el punto b la función presenta un máximo relativo.

Mínimo[editar]

Derivada cero 22d.svg

La función de a a b es decreciente y de b a c es creciente, en el punto b la tangente a la función es horizontal y por tanto en el punto b la función presenta un mínimo relativo.

 Punto de inflexión
Derivada cero 12d.svg

La función de a a b es creciente y de b a c es también creciente, en el punto b la tangente a la función es horizontal y por tanto en el punto b la función presenta un punto de inflexión.

Derivada cero 21d.svg

La función de a a b es decreciente y de b a c es también decreciente, en el punto b la tangente a la función es horizontal y por tanto en el punto b la función presenta también un punto de inflexión.

ALGUNOS LINKS DE APOYO SON:

http://portalacademico.cch.unam.mx/materiales/prof/matdidac/sitpro/mate/calc/calc1/calculo/U4_ClasificacionPuntos.pdf

https://sites.google.com/site/calculodiferencialfgv/home/unidad-iii/puntos-criticos-y-valores-extremos

https://sites.google.com/site/sarahyjoffrecalculo/home/unidad-iii/3-1-puntos-criticos-y-valores-extremos

http://www.udesantiagovirtual.cl/moodle2/pluginfile.php?file=%2F108029%2Fmod_resource%2Fcontent%2F0%2FAplicaciones%20de%20la%20Derivada.pdf

http://www.vitutor.com/fun/5/x_e.html

https://www.matesfacil.com/resueltos-extremos.htm

https://www.matesfacil.com/ERCMonotonia.html

http://ajlasa.com/mate/max-min.pdf

http://www.fic.umich.mx/~lcastro/11%20maximos%20y%20minimos.pdf

https://fismatblog.files.wordpress.com/2011/01/archivo-4-aplicaciones.pdf

http://navarrof.orgfree.com/Docencia/MatematicasII/M2UT3/maximos_y_minimos.htm

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/aplicaciones_derivada/max_min_2.htm

http://calculo-maximosyminimos.blogspot.mx/

http://www.sangakoo.com/es/temas/crecimiento-y-decrecimiento-maximos-y-minimos-de-una-funcion

http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/maximos-minimos-funcion/

https://www.ibm.com/support/knowledgecenter/es/SSLVMB_22.0.0/com.ibm.spss.statistics.help/spss/base/chart_creation_highlowcharts.htm

http://www.vitutor.com/fun/5/c_11.html

http://www.vitutor.com/fun/5/k_e.html

http://www.vitutor.com/fun/5/c_9.html

http://www.vitutor.com/fun/5/a_r.html

http://www.vitutor.com/fun/5/c_8.html

http://www.vitutor.com/fun/2/a_9.html

http://www.vitutor.com/fun/5/i_e.html

https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node5.html

http://www.sangakoo.com/es/temas/concavidad-y-convexidad-puntos-de-inflexion-de-una-funcion

ALGUNOS VIDEOS DE APOYO SON:

 

VELOCIDAD Y ACELERACION

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Velocidad Promedio

APLICACIONES DE LA DERIVADA

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Función estrictamente creciente

EStrictamente creciente

EStrictamente creciente

EStrictamente creciente

Función

Función creciente

Creciente

Creciente

Creciente

Gráfica

Función estrictamente decreciente

Estrictamente decreciente

Estrictamente decreciente

Estrictamente decreciente

Gráfica

Función decreciente

Decreciente

Decreciente

Decreciente

Gráfica

Crecimiento y decrecimiento

Crecimiento

Si f es derivable en a:

Creciente

Decrecimiento

Si f es derivable en a:

Decreciente

Crecimiento

Si f es derivable en a:

Creciente

Decrecimiento

Si f es derivable en a:

Decreciente

Máximos y Mínimos

Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:

1. Si f'(a) = 0.

2. Si f”(a) ≠ 0.

Máximos locales

Si f y f’ son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f”(a) < 0

Mínimos locales

Si f y f’ son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f”(a) > 0

Criterio de concavidad y convexidad

Hemos tomado el criterio de que el valle tiene forma convexa y la montaña forma cóncava.

Es posible encotrar textos en los que se define la concavidad y la convexidad de manera opuesta, usando el criterio de que el valle tiene forma cóncava y la montaña forma convexa.

Pero esta definición que damos no sólo alude a un criterio visual que puede ser confuso desde el punto de vista del observador, sino que podemos dar una definición más precisa:

Una función es cóncava en un intervalo de su dominio cuando:

Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por debajo de la gráfica.

Concavidad

Una función es convexa en un intervalo de su dominio cuando:

Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por encima de la gráfica.

Convexidad

En un punto de inflexión la función no es cóncava ni convexa sino que hay un cambio de concavidad a convexidad o viceversa.

Punto de inflexión

Punto de Inflexion

ALGUNOS VIDEOS DE APOYO SON

 

http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Derivadas/Aplicaciones-der-crica.pdf

http://personales.unican.es/gonzaleof/Ciencias_1/AplicaDerC1.pdf

http://cimanet.uoc.edu/cursMates0/IniciacionMatematicas/pdf/C%2029Aplicaciones%20derivadas.pdf

http://www.vicentegonzalezvalle.es/documentos/11_Aplicaciones_de_las_derivadas.pdf

http://canek.uam.mx/Calculo1/Teoria/Aplicaciones/FTMaximos.pdf

http://www.x.edu.uy/liceo26/patritti.pdf

https://yoquieroaprobar.es/_pdf/51106.pdf

https://mismat.files.wordpress.com/2014/01/aplicaciones-de-las-derivadas-actividades-resueltas-anaya.pdf

http://e-ducativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio//2000/2005/html/5_problemas_de_aplicacin_de_la_derivada.html

http://carmesimatematic.webcindario.com/optimacion.htm

LA DERIVADA DE LA SUMA O RESTA DE DOS O MAS FUNCIONES

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Se puede demostrar a partir de la definición de derivada, que la derivada de la suma de dos funciones es la suma de las derivadas de cada una.

Es decir,         {\displaystyle (f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)}{\displaystyle {\frac {d[f(x)+g(x)]}{dx}}={\frac {df}{dx}}+{\frac {dg}{dx}}}.

Como ejemplo consideremos la función    {\displaystyle f(x)=3x^{5}+x^{3}},  para determinar su derivada se trabaja la derivada de cada término aparte y la suma de ambos será la derivada de la función:

{\displaystyle f'(x)=15x^{4}+3x^{2}}

Ejercicios de todo el semestre por tema:

http://portalacademico.cch.unam.mx/materiales/prof/matdidac/sitpro/mate/calc/calc1/calculo/U3_Suma.pdf

http://cecytebc.edu.mx/hd/archivos/guias_didacticas/1_Calculo_2013-1.pdf

http://carlosacosta.weebly.com/uploads/6/4/2/1/6421207/derivadas_parte_i.pdf

http://www.monografias.com/trabajos-pdf4/problemas-resueltos-derivadas/problemas-resueltos-derivadas.pdf

https://www.matematicasonline.es/pdf/ejercicios/1%C2%BABach%20Cienc/Ejercicios%20de%20derivadas2.pdf

http://www.alcaste.com/departamentos/matematicas/bachillerato/PrimeromateI/12_Derivadas_aplicaciones/Ejercicios_resueltos.pdf

http://www.vicentegonzalezvalle.es/documentos/10_Calculo_de_derivadas.pdf

http://www.ejerciciosyexamenes.com/derivadas.pdf

https://www.derivadas.es/2014/05/03/derivadas-faciles/

http://www.fic.umich.mx/~lcastro/7%20derivada%20funciones%20logaritmicas.pdf

https://carlosmatematicas.files.wordpress.com/2011/03/ej-derivadas-sol.pdf

http://selectividad.intergranada.com/Bach/mate2ccnn/Clase/ejerciciosderivacion.pdf

http://www.vadenumeros.es/primero/ejercicios-de-derivadas.htm

https://www.derivadas.es/category/derivadas-segun-dificultad/derivadas-faciles/

https://www.derivadas.es/category/derivadas-segun-dificultad/derivadas-medias/

https://www.derivadas.es/category/derivadas-segun-dificultad/derivadas-dificiles/

http://www.monografias.com/trabajos-pdf4/problemas-resueltos-derivadas/problemas-resueltos-derivadas.pdf

INTERPREtacion de graficas-fUNCIONES USO FRECUENTE

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EJERCICIOS A RESOLVER:
1. https://www.matematicasonline.es/pdf/ejercicios/3_ESO/Ejercicios%20de%20graficas%20y%20propiedades.pdf

2. http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_1eso_tablas_y_graficas/1quincena11.pdf

3. http://unrn.edu.ar/blogs/RRP-Roca/files/2014/04/TP-Funciones-Interpretacion.pdf

4. http://matebrunca.com/wp-content/uploads/2014/06/estadistica-interpretacion-graficos.pdf

5. http://www2.lhric.org/poCantico/math/Course_2/chap09-s.pdf

6. http://www.cimat.mx/ciencia_para_jovenes/bachillerato/libros/algebra_angel_cap3.pdf

7. https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=aWVzaXRhY2Eub3JnfHNpdGUtZGUtYmVhdHJpenxneDo0ZTZhMTdjOTM3ZDIzNGVm

8. https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=aWVzaXRhY2Eub3JnfHNpdGUtZGUtYmVhdHJpenxneDpjMDY3NmU2NGY3NmY5Yzc

9. https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=aWVzaXRhY2Eub3JnfHNpdGUtZGUtYmVhdHJpenxneDo2NDQyMTIzMjFmYTdkYTFj

10.  https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=aWVzaXRhY2Eub3JnfHNpdGUtZGUtYmVhdHJpenxneDoxZjdkMWU4NGFjMTAyOTJh

11. https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=aWVzaXRhY2Eub3JnfHNpdGUtZGUtYmVhdHJpenxneDo2NDY4YzYwMDI1ZmI1NTA

12. https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=aWVzaXRhY2Eub3JnfHNpdGUtZGUtYmVhdHJpenxneDoyZDdmNWVmYzFlNmQ0ZDg3

13. https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=aWVzaXRhY2Eub3JnfHNpdGUtZGUtYmVhdHJpenxneDoyYTcwYjQ1YTZhZTgxYzk0

14. https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=aWVzaXRhY2Eub3JnfHNpdGUtZGUtYmVhdHJpenxneDo2ZTg2ZjFkN2FmYzBhYWQ3

15. https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=aWVzaXRhY2Eub3JnfHNpdGUtZGUtYmVhdHJpenxneDo0NDUyYTYzZjEyMjA1MDQw

16. https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=aWVzaXRhY2Eub3JnfHNpdGUtZGUtYmVhdHJpenxneDoyYjlhNDhkZWQxN2Y2NTIw

ALGUNOS VIDEOS DE APOYO: