PUNTOS CRITICOS Y VALORES EXTREMOS

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En cálculo, un punto crítico de una función de una variable real es cualquier valor en el dominio en donde la función no es diferenciable o cuando su derivada es 0.1 2 El valor de la función en el punto crítico es un valor crítico de la función. Estas definiciones admiten generalizaciones a funciones de varias variables, mapas diferenciables entre Rm y Rn, y mapas diferenciables entre variedades diferenciables.

Un punto crítico de una función de una sola variable real, ƒ(x), es un valor x0 dentro del dominio de ƒ donde la función no es diferenciable, o bien, su derivada es 0, ƒ(x0) = 0. Cualquier valor en el codominio de ƒ que sea la imagen de un punto crítico bajo ƒ es un valor crítico de ƒ. Estos conceptos pueden ser visualizados por medio de la gráfica de ƒ: en un punto crítico, la gráfica no admite una tangente, o bien, la tangente es una línea vertical u horizontal. En el último caso, la derivada es cero y el punto es llamado un punto estacionario de la función.

Por el teorema de Fermat, los máximos y mínimos locales de una función pueden ocurrir únicamente en sus puntos críticos. Sin embargo, no todo punto estacionario es un máximo o mínimo de la función; puede corresponder también a un punto de inflexión de la gráfica, como para ƒ(x) = x3 en x = 0, o la gráfica puede oscilar en la vecindad del punto, como en el caso de la función definida por la fórmula ƒ(x) = x2sen(1/x) para x ≠ 0 y ƒ(0) = 0, en el punto x = 0.

Derivada igual a cero

Dada una función real de variable real; y = f(x):

{\displaystyle {\begin{array}{rccl}f:&R&\longrightarrow &R\\&x&\longmapsto &y=f(x)\end{array}}}

Con dominio de definición (a,c), siendo y = f(x) continua y derivable en el intervalo (a,c) y un punto b de ese intervalo:

{\displaystyle a<b<c\;}

donde su derivada en b es cero:

{\displaystyle {\cfrac {d\;f(b)}{dx}}=0}{\displaystyle {\cfrac {d\;f(b)}{dx}}=0}

pueden presentarse los siguientes casos.

Máximo

Derivada cero 11d.svg

La función de a a b es creciente y de b a c es decreciente, en el punto b la tangente a la función es horizontal y por tanto en el punto b la función presenta un máximo relativo.

Mínimo[editar]

Derivada cero 22d.svg

La función de a a b es decreciente y de b a c es creciente, en el punto b la tangente a la función es horizontal y por tanto en el punto b la función presenta un mínimo relativo.

 Punto de inflexión
Derivada cero 12d.svg

La función de a a b es creciente y de b a c es también creciente, en el punto b la tangente a la función es horizontal y por tanto en el punto b la función presenta un punto de inflexión.

Derivada cero 21d.svg

La función de a a b es decreciente y de b a c es también decreciente, en el punto b la tangente a la función es horizontal y por tanto en el punto b la función presenta también un punto de inflexión.

ALGUNOS LINKS DE APOYO SON:

http://portalacademico.cch.unam.mx/materiales/prof/matdidac/sitpro/mate/calc/calc1/calculo/U4_ClasificacionPuntos.pdf

https://sites.google.com/site/calculodiferencialfgv/home/unidad-iii/puntos-criticos-y-valores-extremos

https://sites.google.com/site/sarahyjoffrecalculo/home/unidad-iii/3-1-puntos-criticos-y-valores-extremos

http://www.udesantiagovirtual.cl/moodle2/pluginfile.php?file=%2F108029%2Fmod_resource%2Fcontent%2F0%2FAplicaciones%20de%20la%20Derivada.pdf

http://www.vitutor.com/fun/5/x_e.html

https://www.matesfacil.com/resueltos-extremos.htm

https://www.matesfacil.com/ERCMonotonia.html

http://ajlasa.com/mate/max-min.pdf

http://www.fic.umich.mx/~lcastro/11%20maximos%20y%20minimos.pdf

https://fismatblog.files.wordpress.com/2011/01/archivo-4-aplicaciones.pdf

http://navarrof.orgfree.com/Docencia/MatematicasII/M2UT3/maximos_y_minimos.htm

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/aplicaciones_derivada/max_min_2.htm

http://calculo-maximosyminimos.blogspot.mx/

http://www.sangakoo.com/es/temas/crecimiento-y-decrecimiento-maximos-y-minimos-de-una-funcion

http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/maximos-minimos-funcion/

https://www.ibm.com/support/knowledgecenter/es/SSLVMB_22.0.0/com.ibm.spss.statistics.help/spss/base/chart_creation_highlowcharts.htm

http://www.vitutor.com/fun/5/c_11.html

http://www.vitutor.com/fun/5/k_e.html

http://www.vitutor.com/fun/5/c_9.html

http://www.vitutor.com/fun/5/a_r.html

http://www.vitutor.com/fun/5/c_8.html

http://www.vitutor.com/fun/2/a_9.html

http://www.vitutor.com/fun/5/i_e.html

https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node5.html

http://www.sangakoo.com/es/temas/concavidad-y-convexidad-puntos-de-inflexion-de-una-funcion

ALGUNOS VIDEOS DE APOYO SON:

 

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