Mes: enero 2017

ESTRATEGIAS INTUITIVAS PARA LA SOLUCION DE PROBLEMAS

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http://ficus.pntic.mec.es/fheb0005/Hojas_varias/Material_de_apoyo/Estrategias%20de%20Polya.pdf

https://sites.google.com/site/urielrazonamientomatematico/estrategias-intuitivas-para-la-solucion-de-problemas

http://www.lavirtu.com/eniusimg/enius4/2002/01/adjuntos_fichero_3543.pdf

https://uvadoc.uva.es/bitstream/10324/7617/1/TFG-G%20838.pdf

ALGUNOS VIDEOS DE APOYO SON LOS SIGUIENTES:

 

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HEURISTICA EJERCICIOS

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Actualmente se han hecho adaptaciones al término en diferentes áreas, así definen la ‘heurística’ como un arte, técnica o procedimiento práctico o informal, para resolver problemas. Alternativamente, Lakatos lo define como un conjunto de reglas metodológicas no necesariamente forzosas, positivas y negativas, que sugieren o establecen cómo proceder y qué problemas evitar a la hora de generar soluciones y elaborar hipótesis.

Según el matemático George Pólya6 la base de la heurística está en la experiencia de resolver problemas y en ver cómo otros lo hacen. Consecuentemente se dice que hay búsquedas ciegas, búsquedas heurísticas (basadas en la experiencia) y búsquedas racionales.

La popularización del concepto se debe a George Pólya, con su libro Cómo resolverlo (How to solve it). Habiendo estudiado tantas pruebas matemáticas desde su juventud, quería saber cómo los matemáticos llegan a ellas. El libro contiene la clase de recetas heurísticas que trataba de enseñar a sus alumnos de matemáticas. Cuatro ejemplos extraídos de él ilustran el concepto mejor que ninguna definición:

  • Si no consigues entender un problema, dibuja un esquema.
  • Si no encuentras la solución, haz como si ya la tuvieras y mira qué puedes deducir de ella (razonando a la inversa).
  • Si el problema es abstracto, prueba a examinar un ejemplo concreto.
  • Intenta abordar primero un problema más general (es la “paradoja del inventor”: el propósito más ambicioso es el que tiene más posibilidades de éxito).

ALGUNOS VIDEOS DE APOYO PARA ESTE TEMA SON:

 

 

 

 

 

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

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Punto medio o punto equidistante, en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos.

Si es un segmento acotado, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento.

ALGUNOS VIDEOS DE APOYO PARA ESTE TEMA  SON:

 

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

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En geometría analítica las líneas rectas en un plano pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano cartesiano. En dicha expresión m es denominada la “pendiente de la recta” y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado “término independiente” u “ordenada al origen” y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.

EJEMPLO: La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0) es 5 – (–4) = 5 +4 = 9 unidades.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Distancia001 (1)

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos P 1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa P 1 P 2 y emplear el Teorema de Pitágoras .

ALGUNOS VIDEOS PARA ESTE TEMA:

 

OPERACIONES CON FUNCIONES

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OPERACIONES CON FUNCIONES

Suma de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función

(f – g)(x) = f(x) – g(x)

Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.

Producto de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por

(f.g)(x) = f(x).g(x)

Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por

(f/g)(x) = f(x)/g(x)

(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)

Producto de un número por una función

Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por

(a.f)(x) = a.f(x)

Ejercicio: operaciones con funciones

Sean las funciones f(x) = 3 x + 1, y g(x) = 2 x – 4.

Definir la función f + g y calcular las imágenes de los números 2, -3 y 1/5.

Resolución:

– la función f + g se define como

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x + 1 + 2 x – 4 = 5 x – 3.

– (f + g)(2) = 5 · 2 – 3 = 7

(f + g)(-3) = 5(-3) – 3 = -18

(f + g)(1/5) = 5 · 1/5 – 3 = -2

Obsérvese que si se calculan las imágenes de f y g por separado y se suman, el resultado es el mismo.

Por ejemplo, para la imagen del 2,

f(2) = 3.2 + 1 = 7 (f + g)(2) = 7 + 0 = 7
g(2) = 2.2 – 4 = 0

Dadas las funciones f (x) = x² – 3, y g(x) = x + 3, definir la función (f – g)(x).

Calcular las imágenes de 1/3, -2 y 0 mediante la función f – g.

Resolución:

– (f – g)(x) = f(x) – g(x) = x² – 3 – (x + 3) = x² – 3 – x – 3 = x² – x – 6

– (f – g)(1/3) = (1/3)² – 1/3 – 6 = – 56/9
– (f – g)(-2) = (-2)² – (-2) – 6 = – 0
– (f – g)(0) = (0)² – 0 – 6 = – 6
Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y efectuando la resta, se obtiene el mismo resultado.

3) Dadas las funciones f(x) = x/2 – 3 y g(x) = 2.x + 1, definir la función f.g.

Resolución:

– (f.g)(x) = f(x).g(x) = (x/2 – 3).(2.x + 1) = x² – 11.x/2 – 3

Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y multiplicando después, se obtienen los mismos resultados.

Dadas las funciones f(x) = – x – 1, y g(x) = 2 x + 3, definir f/g.

Calcular las imágenes de los números – 1, 2 y 3/2 mediante f/g.

Resolución:

(f/g)(x) = f(x)/g(x) = (-x – 1)/(2.x + 3)

La función f/g está definida para todos los números reales, salvo para x = -3/2, donde la función g se anula.

(f/g)(-1) = 0/1 = 0

(f/g)(2) = -3/7

(f/g)(3/2) = (-5/2)/6 = -5/12

Calculando por separado las imágenes de los números mediante las funciones f y g, y después efectuando su cociente, se obtienen los mismos resultados.

5) Dada la función f(x) = x² + x – 2, calcular 3.f y f/3.

Obtener las imágenes de los números 2, 1 y 0 mediante la función 3 · f.

Resolución:

– (3.f)(x) = 3.f(x) = 3.(x² + x – 2) = 3.x² + 3.x – 6

(1/3).f(x) = (1/3).(x² + x – 2)
– (3.f)(2) = 3.2² + 3.2 – 6 = 12

– (3.f)(1) = 3.1² + 3.1 – 6 = 0

– (3.f)(0) = 3.0² + 3.0 – 6 = – 6

COMPOSICION DE FUNCIONES

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las

funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de R en R, por (g o f)(x) = g[ f(x)].

La función (g o f)(x) se lee « f compuesto con g aplicado a x ».

f
—>
g
—>

x → f(x) → g.[f(x)]

Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(x).

Cálculo de la imagen de un elemento mediante una función compuesta

Para obtener la imagen de la función compuesta aplicada a un número x, se siguen estos pasos:

1- Se calcula la imagen de x mediante la función f, f(x).

2- Se calcula la imagen mediante la función g, de f(x). Es decir, se aplica la función g al resultado obtenido anteriormente.

Ejercicio: composición de funciones

Sean las funciones f(x) = x + 3 y g(x) = x².

Calcular g o f y la imagen mediante esta función de 1, 0 y -3.

Resolución:

– (g o f)(x) = g.[f(x)] = g.[(x + 3)] = (x + 3)²

f
—>
g
—>

x → f(x) = x + 3 → g.[f(x)] = g.(x + 3) = (x + 3)²

– la imagen de dos números 1, 0, -3, mediante la función g o f es:

(g o f)(1) = g.[f(1)] = g.(1 + 3) = g.(4) = 4² = 16

(g o f)(0) = g.[f(0)] = g.(0 + 3) = g.(3) = 3² = 9

(g o f)(-3) = g.[f(-3)] = g.(-3 + 3) = g.(0) = 0² = 0

Dadas las funciones f(x) = x² + 1, y g(x) = 3x – 2, calcular:

a) (g o f) (x)

b) (f o g) (x)

c) (g o f) (1) y (f o g) (-1)

d) El original de 49 para la función g o f.

Resolución:

a) la función g o f está definida por:

f
—>
g
—>

x → f(x) = x² + 1 → g.[f(x)] = g.(x² + 1) = 3.(x² + 1) – 2 = 3.x² + 3 – 2 = 3.x² + 1

b) la función f o g está definida por:

g
—>
f
—>

x → g(x) = 3.x – 2 → f.[g(x)] = (3.x – 2)² + 1 = 9.x² + 4 – 12.x + 1 = 9.x² – 12.x + 5

Obsérvese que g o f ≠ f o g.

c) Aplicando los resultados de los apartados anteriores:

(g o f)(1) = 9.1² – 12.1 + 5 = 9 – 12 + 5 = 2

(g o f)(-1) = 9.(-1)² – 12.(-1) + 5 = 9 + 12 + 5 = 26

d) El original de 49 para la función g o f será un número x, tal que (g o f)(x) = 49.
(g o f) (x) = 3 x² + 1 = 49. Basta con resolver esta ecuación.

3.x² + 1 = 49 ⇒ x² = 16 ⇒ x = ±4